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<!DOCTYPE html>

<title>Potenzmethode</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Potenzmethode</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Potenzmethode, Vektoriteration oder Von-Mises-Iteration (nach <a href="Richard_von_Mises" title="Richard von Mises">Richard von Mises</a>)<a href="#cite_note-VonMises-1">[1]</a> ist ein <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisches Verfahren</a> zur Berechnung des betragsgrößten <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwertes</a> und des dazugehörigen Eigenvektors einer <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a>. Der Name kommt daher, dass Matrixpotenzen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{k}x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19424ab811acbcc70058636441578e112aa05e0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.162ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{k}x}" loading="lazy"> gebildet werden, wesentlicher Aufwand sind also <a href="Matrix-Vektor-Produkt" title="Matrix-Vektor-Produkt">Matrix-Vektor-Produkte</a>. Deswegen ist das Verfahren insbesondere für <a href="D%C3%BCnnbesetzte_Matrix" title="Dünnbesetzte Matrix">dünnbesetzte Matrizen</a> geeignet. Eine direkte Verallgemeinerung zur Berechnung mehrerer betragsgrößter Eigenwerte <a href="D%C3%BCnnbesetzte_Matrix" title="Dünnbesetzte Matrix">dünnbesetzter Matrizen</a> ist die <a href="Unterraumiteration" title="Unterraumiteration">Unterraumiteration</a>.

Die Potenzmethode lässt sich als nicht-optimales <a href="Krylow-Unterraum-Verfahren" title="Krylow-Unterraum-Verfahren">Krylow-Unterraum-Verfahren</a> interpretieren, welches nur den jeweils letzten berechneten Vektor zur Eigenwertnäherung verwendet. Die Potenzmethode ist hinsichtlich der <a href="Konvergenzgeschwindigkeit" title="Konvergenzgeschwindigkeit">Konvergenzgeschwindigkeit</a> den anderen Krylow-Raum-Verfahren, wie etwa dem Verfahren von <a href="Lanczos-Verfahren" title="Lanczos-Verfahren">Lanczos</a> oder dem Verfahren von <a href="Arnoldi-Verfahren" title="Arnoldi-Verfahren">Arnoldi</a> unterlegen. Dafür schneidet die Potenzmethode hinsichtlich der <a href="Stabilit%C3%A4t_(Numerik)" title="Stabilität (Numerik)">Stabilitätsanalyse</a> besser ab.<a href="#cite_note-Wilkinson-2">[2]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Algorithmus">Algorithmus</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Motivation">Motivation</h3></div>

Aus der <a href="Stochastik" title="Stochastik">Stochastik</a> abgeleitet gibt es folgenden naiven Ansatz zur Eigenwertberechnung:

Betrachtet man einen <a href="Wahrscheinlichkeitsvektor" title="Wahrscheinlichkeitsvektor">stochastischen Startvektor</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60faad24775635f4722ccc438093dbbfe05f34ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.182ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{0}}" loading="lazy"> und eine <a href="Stochastische_Matrix" class="mw-redirect" title="Stochastische Matrix">spaltenstochastische Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer <a href="Markow-Kette" title="Markow-Kette">Markow-Kette</a> zum Zeitpunkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"> genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{t}=Sv_{t-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{t}=Sv_{t-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86cf2d6473eaf00c8a0b73fa978a32df82536655.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.605ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle v_{t}=Sv_{t-1}}" loading="lazy">. Falls nun die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{t}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{t}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7be17a7e5bec78adf7afc13d266bdd9514963783.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.954ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{t}}" loading="lazy"> gegen einen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e07b00e7fc0847fbd16391c778d65bc25c452597.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle v}" loading="lazy"> konvergieren, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Sv=v}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Sv=v}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e860064ab525b03e2faca728458c35fb5a730acb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.853ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Sv=v}" loading="lazy"> und wir haben eine vom Anfangszustand unabhängige <a href="Station%C3%A4re_Verteilung" title="Stationäre Verteilung">stationäre Verteilung</a> und damit auch einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 gefunden. Formal ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=\lim _{i\rightarrow \infty }S^{i}v_{0}}">

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=\lim _{i\rightarrow \infty }S^{i}v_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6480902575d6de7b85202de55608851ca8be17d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.97ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle v=\lim _{i\rightarrow \infty }S^{i}v_{0}}" loading="lazy">, es wurden Matrixpotenzen gebildet. Dieses Verfahren lässt sich nun für beliebige Matrizen verallgemeinern.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Allgemeiner_Algorithmus">Allgemeiner Algorithmus</h3></div>

Gegeben sei eine <a href="Quadratische_Matrix" class="mw-redirect" title="Quadratische Matrix">quadratische Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83b3023de9ab6f59e511d7c8ae72d03b64bcecbc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.745ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}" loading="lazy"> und ein Startvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d3e0ebc6a556ad9e78f0d3acdef2ff95461dceb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.84ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}" loading="lazy">. Der Algorithmus approximiert den betragsmäßig größten Eigenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> unter der Voraussetzung, dass der Eigenwert <a href="Halbeinfach" class="mw-redirect" title="Halbeinfach">halbeinfach</a> ist und sein Betrag strikt größer als der aller anderen Eigenwerte. Zudem sei der Startvektor nicht <a href="Orthogonal" class="mw-redirect" title="Orthogonal">orthogonal</a> zum Eigenraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}}" loading="lazy">. In jedem <a href="Iteration" title="Iteration">Iterationsschritt</a> wird die <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> auf die aktuelle Näherung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> angewandt und dann <a href="Norm_(Mathematik)" title="Norm (Mathematik)">normiert</a>.

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k+1}={\frac {Ar_{k}}{\Vert Ar_{k}\Vert }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e50afb96e0cee543532bc3acc73dc0cf22fda44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:14.378ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle r_{k+1}={\frac {Ar_{k}}{\Vert Ar_{k}\Vert }}}" loading="lazy"></dd></dl>

oder in geschlossener Form

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k+1}={\frac {A^{k+1}r_{0}}{\Vert A^{k+1}r_{0}\Vert }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/706d178917c701922e261f8b39ecae574740d861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:17.533ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle r_{k+1}={\frac {A^{k+1}r_{0}}{\Vert A^{k+1}r_{0}\Vert }}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <a href="Vektor" title="Vektor">Vektoren</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> konvergieren gegen einen <a href="Eigenvektor" class="mw-redirect" title="Eigenvektor">Eigenvektor</a> zum betragsgrößten Eigenwert, sofern dieser Eigenwert <a href="Halbeinfacher_Eigenwert" class="mw-redirect" title="Halbeinfacher Eigenwert">halbeinfach</a> ist und alle anderen Eigenwerte einen echt kleineren Betrag haben. Es existiert also ein Index <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy">, so dass für die Eigenwerte gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d65be408c8ef3149a63490771ae9fe1b359b4e5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.777ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}=\ldots =\lambda _{d}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda _{d}|>|\lambda _{d+1}|\geq \ldots \geq |\lambda _{n}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda _{d}|>|\lambda _{d+1}|\geq \ldots \geq |\lambda _{n}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a8399be8b476b8e429819fc561735290639f909.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.468ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda _{d}|>|\lambda _{d+1}|\geq \ldots \geq |\lambda _{n}|}" loading="lazy">. Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"> die geometrische (und algebraische) Vielfachheit des Eigenwerts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}}" loading="lazy">.

Der zum Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> gehörende approximierte Eigenwert kann auf zwei Arten berechnet werden:

<ol><li>Bildet man die Skalare <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{k}={\frac {\langle r_{k},\,Ar_{k}\rangle }{\langle r_{k},\,r_{k}\rangle }}={\frac {\langle r_{k},\,Ar_{k}\rangle }{\Vert r_{k}\Vert _{2}^{2}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{k}={\frac {\langle r_{k},\,Ar_{k}\rangle }{\langle r_{k},\,r_{k}\rangle }}={\frac {\langle r_{k},\,Ar_{k}\rangle }{\Vert r_{k}\Vert _{2}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12dd991474be1fcaee39809aaac9319da6eae5b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:28.545ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \theta _{k}={\frac {\langle r_{k},\,Ar_{k}\rangle }{\langle r_{k},\,r_{k}\rangle }}={\frac {\langle r_{k},\,Ar_{k}\rangle }{\Vert r_{k}\Vert _{2}^{2}}}}" loading="lazy"> (den sogenannten <a href="Rayleigh-Quotient" title="Rayleigh-Quotient">Rayleigh-Quotienten</a>), so konvergiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \theta _{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \theta _{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ae772f574aa637900f7673f6f934bdcf35969ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.179ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \theta _{k}}" loading="lazy"> gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}}" loading="lazy">. Dies folgt direkt aus der Konvergenz von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> gegen einen Eigenvektor.</li>

<li>Ist man nicht am Vorzeichen des Eigenwertes interessiert, so bietet sich ein einfacher Ansatz an: Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> gegen einen Eigenvektor konvergiert und in jedem Schritt auf 1 normiert wird, konvergiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Vert Ar_{k}\Vert }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Vert Ar_{k}\Vert }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1454bb3ebc3b435708a5ffaf41d17a6f7faac4d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Vert Ar_{k}\Vert }" loading="lazy"> gegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda _{1}|}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda _{1}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56f633a7b3362675eedaa86b1dd292057a7f7cf5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.703ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda _{1}|}" loading="lazy"> (unabhängig von der verwendeten Norm).</li></ol>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=VJV^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=VJV^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f74aab06e275e435d889d94c3c901bbeaf77c574.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.35ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=VJV^{-1}}" loading="lazy"> die Darstellung der <a href="Quadratische_Matrix" class="mw-redirect" title="Quadratische Matrix">quadratischen Matrix</a> in der <a href="Jordansche_Normalform" title="Jordansche Normalform">jordanschen Normalform</a>, dann ergibt sich daraus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{k}=(VJV^{-1})^{k}=VJ^{k}V^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}=(VJV^{-1})^{k}=VJ^{k}V^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea7ffe8bf7ac7bac78359bddcea8a96eb1de41c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.087ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A^{k}=(VJV^{-1})^{k}=VJ^{k}V^{-1}}" loading="lazy">, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{k}V=VJ^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}V=VJ^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5e0e21b55c487eca921f7ec9c7288e6253f6c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.119ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{k}V=VJ^{k}}" loading="lazy">. Ist nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=V{\tilde {x}}\in \mathbb {C} }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=V{\tilde {x}}\in \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/53346374f2f7d4841c5906fc44c1bc097bbcb38d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x=V{\tilde {x}}\in \mathbb {C} }" loading="lazy"> ein zufälliger Vektor, dann gilt

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}x=A^{k}V{\tilde {x}}=VJ^{k}{\tilde {x}}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\lambda _{i}^{k}{\tilde {x}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd8f26c7925e1ee3886322de959cc7725f6fb84f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:35.38ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle A^{k}x=A^{k}V{\tilde {x}}=VJ^{k}{\tilde {x}}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\lambda _{i}^{k}{\tilde {x}}_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ausklammern eines konstanten Faktors ergibt

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}x=\lambda _{1}^{k}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}{\tilde {x}}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aac0f11368f0da955bf1003aee179c8616be9b8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.645ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle A^{k}x=\lambda _{1}^{k}\sum _{i=1}^{n}v_{i}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}{\tilde {x}}_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Dann gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}=0}">

</mrow>

</munder>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bac053d5001148af149235d21c544e367ae224f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.546ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}=0}" loading="lazy"> für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dea233301b9ca8fe5dde94824f918c0ceaf7fd5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.063ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i>1}" loading="lazy"> und für große <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{k}x}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19424ab811acbcc70058636441578e112aa05e0c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.162ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{k}x}" loading="lazy"> und damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> fast <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">parallel</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\lambda _{1}/|\lambda _{1}|)^{k}v_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\lambda _{1}/|\lambda _{1}|)^{k}v_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b4cffe61940bf6525529a015adc546bf6c9b934.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.355ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (\lambda _{1}/|\lambda _{1}|)^{k}v_{1}}" loading="lazy">, da nach Voraussetzung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}\neq 0}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa679565c2882cc19ce87a48cad5b016b303ad8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.645ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}\neq 0}" loading="lazy"> (was z. B. durch eine zufällige Wahl des Vektors sichergestellt werden kann). Somit konvergiert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b28e0e640d099f3676330bd4f604ae15c37bb4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.137ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{k}}" loading="lazy"> gegen einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.409ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-3">[3]</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beweis_der_Konvergenz">Beweis der Konvergenz</h2></div>

Wir geben hier einen Beweis unter der Annahme, dass die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> diagonalisierbar ist. Der Beweis für den nichtdiagonalisierbaren Fall läuft analog.

<a href="O.B.d.A." class="mw-redirect" title="O.B.d.A.">O.B.d.A.</a> seien die Eigenwerte wie oben angeordnet. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> die <a href="Basiswechselmatrix" class="mw-redirect" title="Basiswechselmatrix">Basiswechselmatrix</a> zur Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{k}=VD^{k}V^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{k}=VD^{k}V^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5542ed894327f943cc8d7dd7590b9f016ee958c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.98ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{k}=VD^{k}V^{-1}}" loading="lazy"> wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"> nach Voraussetzung eine Diagonalmatrix ist, welche die Eigenwerte enthält.

Sei nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb40a91abab8b7bfb0e84b074732b2f044fd56ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.706ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}" loading="lazy"> eine Basis aus Eigenvektoren (die Spaltenvektoren von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb12fcfddb65e3d1e6a044215f6e833f0cd4337b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.103ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{0}}" loading="lazy"> ein Startvektor mit

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}v_{i}\quad {\text{mit}}\;\beta _{1}v_{1}+\ldots +\beta _{d}v_{d}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad908099d5f8eadc1a6e03f2611c4924b294ac0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:41.285ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle r_{0}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}v_{i}\quad {\text{mit}}\;\beta _{1}v_{1}+\ldots +\beta _{d}v_{d}\neq 0}" loading="lazy"></dd></dl>

Dann ist

<mtr>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}A^{k}r_{0}&=VD^{k}V^{-1}r_{0}\\&=VD^{k}(\beta _{1}e_{1}+\ldots +\beta _{n}e_{n})\\&=\lambda _{1}^{k}V\left(\beta _{1}e_{1}+\ldots +\beta _{d}e_{d}+\sum _{i=d+1}^{n}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}e_{i}\right)\\&=\lambda _{1}^{k}{\bigg (}\beta _{1}v_{1}+\ldots +\beta _{d}v_{d}+\underbrace {\sum _{i=d+1}^{n}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}v_{i}} _{\to 0{\text{ für }}k\to \infty }{\bigg )},\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b9166607c711dc8851fdc3f830eb6080abb1b0e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.505ex; width:52.252ex; height:26.176ex;" alt="{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}A^{k}r_{0}&=VD^{k}V^{-1}r_{0}\\&=VD^{k}(\beta _{1}e_{1}+\ldots +\beta _{n}e_{n})\\&=\lambda _{1}^{k}V\left(\beta _{1}e_{1}+\ldots +\beta _{d}e_{d}+\sum _{i=d+1}^{n}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}e_{i}\right)\\&=\lambda _{1}^{k}{\bigg (}\beta _{1}v_{1}+\ldots +\beta _{d}v_{d}+\underbrace {\sum _{i=d+1}^{n}\left({\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}v_{i}} _{\to 0{\text{ für }}k\to \infty }{\bigg )},\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

da nach Voraussetzung gilt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {|\lambda _{i}|}{|\lambda _{1}|}}<1}">

<mfrac>

<mrow>

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</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {|\lambda _{i}|}{|\lambda _{1}|}}<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7444e30ea0674b5b7766c047418b86c78ada6389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.802ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {|\lambda _{i}|}{|\lambda _{1}|}}<1}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\geq d+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\geq d+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55bea1a5bfd8c6e4d624ecf1d71a133e26037bc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.12ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle i\geq d+1}" loading="lazy">. Wegen

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda _{1}^{k}={\begin{cases}\pm \infty &\;{\text{für}}\;|\lambda _{1}|>1\\0&\;{\text{für}}\;|\lambda _{1}|<1\end{cases}}}">

</mrow>

</munder>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda _{1}^{k}={\begin{cases}\pm \infty &\;{\text{für}}\;|\lambda _{1}|>1\\0&\;{\text{für}}\;|\lambda _{1}|<1\end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c27af313179c67193d41f2dc6cd48475247f02f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.446ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda _{1}^{k}={\begin{cases}\pm \infty &\;{\text{für}}\;|\lambda _{1}|>1\\0&\;{\text{für}}\;|\lambda _{1}|<1\end{cases}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wird in jedem Schritt die Normierung des Vektors auf 1 durchgeführt. Die oben angegebene Bedingung an den Startvektor besagt, dass er einen Nichtnullanteil in Richtung des Eigenvektors haben muss. Dies ist aber meist nicht einschränkend, da sich diese Bedingung durch <a href="Rundungsfehler" title="Rundungsfehler">Rundungsfehler</a> in der Praxis oftmals von alleine ergibt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Konvergenzgeschwindigkeit">Konvergenzgeschwindigkeit</h2></div>

Unter der häufigen starken Voraussetzung, dass der Eigenwert einfach, betragsmäßig einfach und gut separiert ist, konvergieren sowohl die Eigenwertnäherungen als auch die Eigenvektornäherungen linear mit der Konvergenzgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda _{2}|/|\lambda _{1}|}">

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda _{2}|/|\lambda _{1}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c38cb2f60f80ade29c9c651a1f617aaf88ea5fdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.569ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda _{2}|/|\lambda _{1}|}" loading="lazy">, wobei die Eigenwerte dem Betrage nach abfallend sortiert angenommen werden, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq \ldots \geq |\lambda _{n}|}">

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq \ldots \geq |\lambda _{n}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39c83b33f94c8c4f13015714f94a2cd7c93d8c60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.292ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq \ldots \geq |\lambda _{n}|}" loading="lazy">. Diese Voraussetzung ist zum Beispiel nach dem <a href="Satz_von_Perron-Frobenius" title="Satz von Perron-Frobenius">Satz von Perron-Frobenius</a> bei Matrizen mit positiven Einträgen erfüllt.

Des Weiteren haben noch Jordanblöcke einen Einfluss auf die Konvergenzgeschwindigkeit. Betrachte dazu als Beispiel die Matrizen

<mrow>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8&0&0\\0&0&0{,}8&0\\0&0&0&0{,}8\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad A^{n}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8^{n}&0&0\\0&0&0{,}8^{n}&0\\0&0&0&0{,}8^{n}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00f1ed8f59c4139a6977c5e3c6aa55a385f5ad2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:66.417ex; height:12.509ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8&0&0\\0&0&0{,}8&0\\0&0&0&0{,}8\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad A^{n}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8^{n}&0&0\\0&0&0{,}8^{n}&0\\0&0&0&0{,}8^{n}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<mrow>

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</mrow>

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</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8&1&0\\0&0&0{,}8&1\\0&0&0&0{,}8\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad B^{n}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8^{n}&n\cdot 0{,}8^{n-1}&{\tfrac {n(n-1)}{2}}\cdot 0{,}8^{n-2}\\0&0&0{,}8^{n}&n\cdot 0{,}8^{n-1}\\0&0&0&0{,}8^{n}\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58400373121a78090c067943bf2b1385a18dd552.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.505ex; width:81.601ex; height:14.176ex;" alt="{\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8&1&0\\0&0&0{,}8&1\\0&0&0&0{,}8\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad B^{n}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0{,}8^{n}&n\cdot 0{,}8^{n-1}&{\tfrac {n(n-1)}{2}}\cdot 0{,}8^{n-2}\\0&0&0{,}8^{n}&n\cdot 0{,}8^{n-1}\\0&0&0&0{,}8^{n}\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Beide haben den Eigenvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle e=(1,0,0,0)^{T}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle e=(1,0,0,0)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d6595c57bee7167c5601c942c2ef3012595e098d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.132ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle e=(1,0,0,0)^{T}}" loading="lazy"> zum betragsgrößten Eigenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0aa03435d810a048c6738f32a69b769d2972eb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.67ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}=1}" loading="lazy"> und die Separation der Eigenwerte ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda _{2}/\lambda _{1}|=0{,}8}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda _{2}/\lambda _{1}|=0{,}8}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/852022b2c80b9f6e1946b281251e7b0ebb5167fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.345ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda _{2}/\lambda _{1}|=0{,}8}" loading="lazy">. Unter Verwendung der <a href="Maximumsnorm" title="Maximumsnorm">Maximumsnorm</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3006fcadfc90f897004149aa18f5b8824e3f4a00.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.108ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|x\|_{\infty }:=\max(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)}" loading="lazy"> und des Startvektors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{0}=(1,1,1,1)^{T}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{0}=(1,1,1,1)^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bca7f7f5f7001ada6f6b20ea19c8b7fbda4a9c2e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.152ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle r_{0}=(1,1,1,1)^{T}}" loading="lazy"> konvergiert die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> mit linearer Konvergenzgeschwindigkeit, während die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> erst nach ca. 60 Iterationsschritten ein brauchbares Ergebnis liefert (vergleiche Bild).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verwendung">Verwendung</h2></div>

Da zur Berechnung des Gleichgewichtszustandes großer <a href="Markow-Kette" title="Markow-Kette">Markow-Ketten</a> nur der Eigenvektor zum betragsgrößten Eigenwert bestimmt werden muss, kann hierfür die Potenzmethode verwendet werden, wie bereits im Abschnitt „Motivation“ beschrieben wurde. Insbesondere kann hier auf die Normierung in jedem Rechenschritt verzichtet werden, da die betrachtete Matrix <a href="Stochastische_Matrix" class="mw-redirect" title="Stochastische Matrix">stochastisch</a> ist und damit die Betragsnorm des stochastischen Vektors erhält. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung der <a href="PageRank" title="PageRank">PageRanks</a> eines großen <a href="Gerichteter_Graph" title="Gerichteter Graph">gerichteten Graphen</a> als betragsgrößten Eigenvektor der <a href="Google-Matrix" title="Google-Matrix">Google-Matrix</a>. Insbesondere sind bei der Google-Matrix die Eigenwerte gut separiert, sodass eine schlechte Konvergenzgeschwindigkeit ausgeschlossen werden kann.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Varianten">Varianten</h2></div>

Hat man einen Eigenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> ausgerechnet, kann man das Verfahren auf die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A-\lambda V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A-\lambda V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577e91b4aba2982169bef600215c00bb7dddbe13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.726ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A-\lambda V}" loading="lazy"> anwenden, um ein weiteres Eigenwert-Eigenvektor-Paar zu bestimmen. Hierbei sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> das <a href="Kronecker-Produkt" title="Kronecker-Produkt">Kronecker-Produkt</a> des Eigenvektors zum jeweiligen Eigenwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> mit sich selbst. Dabei wird vorausgesetzt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> unitär diagonalisierbar ist. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A-\lambda V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A-\lambda V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577e91b4aba2982169bef600215c00bb7dddbe13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.726ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A-\lambda V}" loading="lazy"> erhält dabei alle Eigenwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> mit Ausnahme von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda =0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00c4bba30544017fe76932de5a4e25adb5512d95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda =0}" loading="lazy">).

Darüber hinaus gibt es die <a href="Inverse_Iteration" title="Inverse Iteration">inverse Iteration</a>, bei der das Verfahren auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b606920f8ed756d99b2af5b941bb988c1286a210.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.253ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}}" loading="lazy"> angewandt wird, indem in jedem Schritt lineare Gleichungssysteme gelöst werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Vergleiche_mit_anderen_Krylowraum-Verfahren">Vergleiche mit anderen Krylowraum-Verfahren</h2></div>

Die Potenzmethode ist den anderen <a href="Krylowraum" title="Krylowraum">Krylowraum</a>-Verfahren sehr ähnlich. Es finden sich die typischen Bestandteile der komplexeren Verfahren wieder, so etwa die Normierung der konstruierten Basisvektoren, die Erweiterung des Krylowraumes und die Berechnung von (Elementen von) Projektionen im letzten Schritt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. Auflage. Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8.</li>

<li><a href="Peter_Knabner" title="Peter Knabner">Peter Knabner</a>, <a href="Wolf_Barth_(Mathematiker)" title="Wolf Barth (Mathematiker)">Wolf Barth</a>: <cite style="font-style:italic">Lineare Algebra</cite>. Grundlagen und Anwendungen (= <cite style="font-style:italic">Springer-Lehrbuch</cite>). Springer, Berlin 2012, ISBN 978-3-642-32185-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potenzmethode&rft.au=Peter+Knabner%2C+Wolf+Barth&rft.btitle=Lineare+Algebra&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.isbn=9783642321856&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer&rft.series=Springer-Lehrbuch" style="display:none"> </li>

<li>Josef Stoer, <a href="Roland_Bulirsch" title="Roland Bulirsch">Roland Bulirsch</a>: Numerische Mathematik 2. 5. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2005, ISBN 978-3-540-23777-8.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-VonMises-1"><a href="#cite_ref-VonMises_1-0">↑</a> R. von Mises und H. Pollaczek-Geiringer, Praktische Verfahren der Gleichungsauflösung, ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 9, 152–164 (1929).

</li>

<li id="cite_note-Wilkinson-2"><a href="#cite_ref-Wilkinson_2-0">↑</a> J. H. Wilkinson, The Algebraic Eigenvalue Problem, Oxford University Press (1965).

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Martin Hanke-Bourgeois: <cite style="font-style:italic">Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens</cite>. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0708-3, S. 218ff (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=KdojBAAAQBAJ&pg=PA218#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Potenzmethode&rft.au=Martin+Hanke-Bourgeois&rft.btitle=Grundlagen+der+Numerischen+Mathematik+und+des+Wissenschaftlichen+Rechnens&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=9783834807083&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg%2BTeubner+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Cornell University: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cs.cornell.edu/~bindel/class/cs6210-f16/lec/2016-10-17.pdf">Power iteration</a>.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nlp.stanford.edu/pubs/secondeigenvalue.pdf">The Second Eigenvalue of the Google Matrix </a>. Website der Stanford University

. Abgerufen am 30. August 2013.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>